Постановка задачи
Отделение корней
Уточнение корней
1.2.3.2. Метод итерации
1.2.3.4. Метод хорд
Постановка задачи
Алгебраическими уравнениями
(1.2.1-1)
трансцендентным уравнением
(1.2.1-2)
Итерационное уточнение корней.
На этапе отделения корней решается задача отыскания возможно более узких отрезков , в которых содержится один и только один корень уравнения.
Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x 0 , x 1 , ..., x n , …, в которых каждое последующее приближение x n+1 вычисляется на основании предыдущего x n . Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x 0 , x 1 , ..., x n , …при n ® ¥ имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.
Существуют различные способы отделения и уточнения корней, которые мы рассмотрим ниже.
Отделение корней
Корень уравнения f(x)=0считается отделенным (локализованным) на отрезке , если на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения, необходимо разбить область допустимых значений функции f(x) на достаточно узкие отрезки, в каждом их которых содержится только один корень. Существуют графический и аналитический способы отделения корней.
Уточнение корней
Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке , состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство . Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня.
Метод половинного деления
Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке , то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.
Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …,,…, , таких что f(a i).f(b i) < 0 , где i=1,2,…,n, а длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего:
Последовательное сужение отрезка вокруг неизвестного значения корня обеспечивает выполнение на некотором шаге n неравенства |b n - a n | < e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое
Может быть принято за приближенное значение корня, например его середину отрезка
В методе половинного деления от итерации к итерации происходит последовательное уменьшение длины первоначального отрезка в два раза (рис. 1.2.3-1). Поэтому на n-м шаге справедлива следующая оценка погрешности результата:
(1.2.3-1)
где - точное значение корня, х n Î – приближенное значение корня на n-м шаге.
Сравнивая полученную оценку погрешности с заданной точностью , можно оценить требуемое число шагов:
(1.2.3-2)
Из формулы видно, что уменьшение величины e (повышение точности) приводит к значительному увеличению объема вычислений, поэтому на практике метод половинного деления применяют для сравнительно грубого нахождения корня, а его дальнейшее уточнение производят с помощью других, более эффективных методов.
 |
Рис. 1.2.3-2. Схема алгоритма метода половинного деления
Схема алгоритма метода половинного деления приведена на рис. 1.2.3-2. В приведенном алгоритме предполагается, что левая часть уравнения f(x)оформляется в виде программного модуля.
Пример 1.2.3-1. Уточнить корень уравнения x 3 +x-1=0 с точностью =0.1, который локализован на отрезке .
Результаты удобно представить с помощью таблицы 1.2.3-3.
Таблица 1.2.3-3
| k | a | b | f(a) | f(b) | (a+b)/2 | f((a+b)/2) | a k | b k |
| -1 | 0.5 | -0.375 | 0.5 | |||||
| 0.5 | -0.375 | 0.75 | 0.172 | 0.5 | 0.75 | |||
| 0.5 | 0.75 | -0.375 | 0.172 | 0.625 | -0.131 | 0.625 | 0.75 | |
| 0.625 | 0.75 | -0.131 | 0.172 | 0.688 | 0.0136 | 0.625 | 0.688 |
После четвертой итерации длина отрезка |b 4 -a 4 | = |0.688-0.625| = 0.063 стала меньше величины e , следовательно, за приближенное значение корня можно принять значение середины данного отрезка: x = (a 4 +b 4)/2 = 0.656.
Значение функции f(x) в точке x = 0.656 равно f(0.656) = -0.062.
Метод итерации
Метод итераций предполагает замену уравнения f(x)=0 равносильным уравнением x=j(x). Если корень уравнения отделен на отрезке , то исходя из начального приближения x 0 Î, можно получить последовательность приближений к корню
x 1 = j(x 0), x 2 = j(x 1), …, , (1.2.3-3)
где функция j(x) называется итерирующей функцией.
Условие сходимости метода простой итерации определяется следующей теоремой.
Пусть корень
х* уравнения
x=j(x) отделен на отрезке
и построена последовательность приближений по правилу
x n =j(x n -1).
Тогда, если все члены последовательности
x n =j(x n -1) Î и существует такое
q (0
Таким образом, если выполняется условие сходимости метода итераций, то последовательность x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, полученная с помощью формулы x n +1 = j(x n ), сходится к точному значению корня :
Условие j(x)Î при xÎ означает, что все приближения x 1 , x 2 , …, x n ,…, полученные по итерационной формуле, должны принадлежать отрезку , на котором отделен корень.
Для оценки погрешности метода итерации справедливо условие
За число q можно принимать наибольшее значение |j"(x)|, а процесс итераций следует продолжать до тех пор, пока не выполнится неравенство
(1.2.3-5)
На практике часто используется упрощенная формула оценки погрешности. Например, если 0 |x n -1 - x n | £ . Использование итерационной формулы x n +1 = j(x n) позволяет получить значение корня уравнения f(x)=0 с любой степенью точности.
Геометрическая иллюстрация метода итераций
. Построим на плоскости X0Y графики функций y=x и y=j(x).
Корень уравнения х=j(x) является абсциссой точки пересечения графиков функции y = j(x)
и прямой y=x. Возьмем некоторое начальное приближение x 0 Î . На кривой y = j(x) ему соответствует точка А 0 = j(x 0). Чтобы найти очередное приближение, проведем через точку А 0 прямую горизонтальную линию до пересечения с прямой y = x (точкаВ 1) и опустим перпендикуляр до пересечения с кривой (точкаА 1), то есть х 1 =j(x 0).
Продолжив построение аналогичным образом, имеем ломаную линию А 0 , В 1 , А 1 , В 2 , А 2 …, для которой общие абсциссы точек представляют собой последовательное приближение х 1 , х 2 , …, х n («лестницу») к корню х*. Из рис. 1.2.3-3а видно, что процесс сходится к корню уравнения. Рассмотрим теперь другой вид кривой y = j(x) (рис. 1.2.6b). В данном случае ломаная линия А 0 , В 1 , А 1 , В 2 , А 2 …имеет вид “спирали”. Однако, и в этом случае наблюдается сходимость. Нетрудно видеть, что в первом случае для производной выполняется условие 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>-1. Таким образом, очевидно, что если |j’(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню. Теперь рассмотрим случаи, когда |j’(x) |> 1. На рис. 1.2.3-4а показан случай, когда j’(x)>1, а на рис. 1.2.3-4b – когда j’(x) < -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня. Способы улучшения сходимости процесса итераций
. Рассмотрим два варианта представления функции j(x) при переходе от уравнения f(x)кx=j(x). 1.
Пусть функция j(x) дифференцируема и монотонна в окрестностях корня и существует числоk £ |j‘(x)|, где k ³ 1 (т.е. процесс расходится). Заменим уравнение х=j(x) эквивалентным ему уравнением х=Y(х)
, где Y(х) = 1/j(x)
(перейдем к обратной функции). Тогда 2.
Представим функцию j(x) как j(x) = х - lf(x), где l - коэффициент,
не равный нулю. Для того чтобы процесс сходился, необходимо, чтобы и процесс будет сходящимся, рекуррентная формула имеет вид Если f¢(x) < 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1
. Параметр λ может быть также определен по правилу: Если , то , а если , то , где Схема алгоритма метода итерации приведена на рис. 1.2.3-5. Исходное уравнение f(x)=0преобразовано к виду, удобному для итераций: Левая часть исходного уравнения f(x) и итерирующая функция fi(x) в алгоритме оформлены в виде отдельных программных модулей. Рис. 1.2.3-5. Схема алгоритма метода итерации Пример 1.2.3-2. Уточнить корень уравнения 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 с точностью 0.1, который локализован на отрезке .
Приведем уравнение к виду, удобному для итераций: Следовательно, за приближенное значение корня уравнения принимаем значение x 3 =3.6892, обеспечивающее требуемую точность вычислений. В этой точке f(x 3)=0.0027. Метод хорд
Геометрическая интерпретация метода хорд
состоит в следующем Проведем отрезок прямой через точки A и B. Очередное приближение x 1 является абсциссой точки пересечения хорды с осью 0х. Построим уравнение отрезка прямой: Положим y = 0 и найдем значение х = х 1 (очередное приближение): Повторим процесс вычислений для получения очередного приближения к корню - х 2 :
В нашем случае (рис.1.2.11) и расчетная формула метода хорд будет иметь вид Эта формула справедлива, когда за неподвижную точку принимается точка b, а в качестве начального приближения выступает точка a. Рассмотрим другой случай (рис. 1.2.3-9), когда . Уравнение прямой для этого случая имеет вид Очередное приближение х 1 при y = 0 Тогда рекуррентная формула метода хорд для этого случая имеет вид Следует отметить, что за неподвижную точку в методе хорд выбирают тот конец отрезка , для которого выполняется условие f (x)∙ f¢¢ (x)>0. Таким образом, если за неподвижную точку приняли точку а,
то в качестве начального приближения выступает х 0 = b, и наоборот. Достаточные условия, которые обеспечивают вычисление корня уравнения f(x)=0 по формуле хорд, будут теми же, что и для метода касательных (метод Ньютона), только вместо начального приближения выбирается неподвижная точка. Метод хорд является модификацией метода Ньютона. Разница состоит в том, что в качестве очередного приближения в методе Ньютона выступает точка пересечения касательной с осью 0Х, а в методе хорд – точка пересечения хорды с осью 0Х – приближения сходятся к корню с разных сторон. Оценка погрешности метода хорд определяется выражением Условие окончания процесса итераций по методу хорд В случае, если M 1 <2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e.
Пример 1.2.3-4. Уточнить корень уравнения e x – 3x = 0, отделенный на отрезке с точностью 10 -4 .
Проверим условие сходимости: Следовательно, за неподвижную точку следует выбрать а=0, а в качестве начального приближения принять х 0 =1, поскольку f(0)=1>0 и f(0)*f"(0)>0. Результаты расчета, полученные с использованием формулы Таблица 1.2.3-4 Рис. 1.2.3-10. Схема алгоритма метода хорд Нелинейное уравнение – это
1)
алгебраическое или трансцендентное уравнение 2)
алгебраическое уравнение 3)
тригонометрическое уравнение 4)
трансцендентное уравнение Тема 1.2. Методы решения нелинейных уравнений
Постановка задачи
Отделение корней
1.2.2.1. Графическое отделение корней 1.2.2.2. Аналитическое отделение корней Уточнение корней
1.2.3.1. Метод половинного деления 1.2.3.2. Метод итерации 1.2.3.3. Метод Ньютона (метод касательных) 1.2.3.4. Метод хорд 1.2.3.5. Сравнение методов решения нелинейных уравнений 1.2.4. Тестовые задания по теме «Методы решения нелинейных уравнений»
Постановка задачи
Одной из важнейших и наиболее распространенных задач математического анализа является задача определения корней уравнения с одним неизвестным, которое в общем виде можно представить как f(x) = 0. В зависимости от вида функции f(x)различают алгебраические и трансцендентные уравнения. Алгебраическими уравнениями
называются уравнения, в которых значение функции f(x)представляет собой полином n-й степени: f(x) = Р(х) = a n x n + a 2 x 2 + …+ a 1 x + a 0 = 0.(1.2.1-1) Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным уравнением
. Функция f(x) в таких уравнениях представляет собой хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую или обратную тригонометрическую. Решением уравнения f(x)=0называется совокупность корней, то есть такие значения независимой переменной , при которых уравнение обращается в тождество . Однако, точные значения корней могут быть найдены аналитически только для некоторых типов уравнений. В частности, формулы, выражающие решение алгебраического уравнения, могут быть получены лишь для уравнений не выше четвертой степени. Еще меньше возможностей при получении точного решения трансцендентных уравнений. Следует отметить, что задача нахождения точных значений корней не всегда корректна. Так, если коэффициенты уравнения являются приближенными числами, точность вычисленных значений корней заведомо не может превышать точности исходных данных. Эти обстоятельства заставляют рассматривать возможность отыскания корней уравнения с ограниченной точностью (приближенных корней). Задача нахождения корня уравнения с заданной точностью ( >0)считается решенной, если вычислено приближенное значение , которое отличается от точного значения корня не более чем на значение e (1.2.1-2) Процесс нахождения приближенного корня уравнения состоит из двух этапов: 1) отделение корней (локализация корней);
Уравнения, в которых содержатся неизвестные функции, произведенные в степень больше единицы, называются нелинейными. Системой нелинейных уравнений считается одновременное решение нескольких нелинейных уравнений с одной или несколькими переменными. Существует множество методов решения нелинейных уравнений
и систем нелинейных уравнений, которые принято относить в 3 группы: численные, графические и аналитические. Аналитические методы позволяют определить точные значения решения уравнений. Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений. Численное решение нелинейных уравнений предполагает прохождения двух этапов: отделение корня и его уточнение до определенно заданной точности. Рассмотрим несколько методов уточнения корней с определенно заданной точностью. Метод половинного деления.
Суть метода половинного деления заключается в делении интервала пополам (с=(a+b)/2) и отбрасывании той части интервала, в которой отсутствует корень, т.е. условие F(a)xF(b) Рис.1. Использование метода половинного деления при решении нелинейных уравнений. Рассмотрим пример. Рис.2. Таблица результатов вычислений В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946 Метод хорд.
При использовании метода хорд, задается отрезок , в котором есть только один корень с установленной точностью e. Через точки в отрезке a и b, которые имеют координаты (x(F(a);y(F(b)), проводится линия (хорда). Далее определяются точки пересечения этой линии с осью абсцисс (точка z). Рис.3. Использование метода хорд при решении нелинейных уравнений. Рассмотрим пример.
Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e В общем виде уравнение имеет вид: F(x)= х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 Найдем значения F(x) на концах отрезка : F(-1) = - 0,2>0; Определим вторую производную F’’(x) = 6x-0,4. F’’(-1)=-6,4 На концах отрезка условие F(-1)F’’(-1)>0 соблюдается, поэтому для определения корня уравнения воспользуемся формулой: Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице. Рис.4. Таблица результатов вычислений В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946 Метод касательных (Ньютона)
Данный метод основывается на построении касательных к графику, которые проводятся на одном из концов интервала . В точке пересечения с осью X (z1) строится новая касательная. Данная процедура продолжается до тех пор, пока полученное значение не будет сравним с нужным параметром точности e (F(zi) Рис.5. Использование метода касательных (Ньютона) при решении нелинейных уравнений. Рассмотрим пример.
Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e В общем виде уравнение имеет вид: F(x)= х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 Определим первую и вторую производные: F’(x)=3x^2-0,4x+0,5, F’’(x)=6x-0,4; F’’(-1)=-6-0,4=-6,4 Где x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2 Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице. Рис.6. Таблица результатов вычислений В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946 Решение
нелинейных уравнений
Пусть
требуется решить уравнение Где
Методы
решения уравнений делятся на прямые и
итерационные.
Прямые методы – это
методы, позволяющие вычислить решение
по формуле (например, нахождение корней
квадратного уравнения).
Итерационные
методы – это методы, в которых задается
некоторое начальное приближение и
строится сходящаяся последовательность
приближений к точному решению, причем
каждое последующее приближение
вычисляется с использованием предыдущих Полное
решение поставленной задачи можно
разделить на 3 этапа: Установить
количество, характер и расположение
корней уравнения (1). Найти
приближенные значения корней, т.е.
указать промежутки, в которых наудится
корни (отделить корни). Найти
значение корней с требуемой точностью
(уточнить корни). Существуют
различные графические и аналитические
методы решения первых двух задач. Наиболее
наглядный метод отделения корней
уравнения (1) состоит в определении
координат точек пересечения графика
функции Промежутки
изоляции корней уравнения (1) можно
получить аналитически, опираясь на
теоремы о свойствах функций, непрерывных
на отрезке. Если,
например, функция
Если
функция
Если
функция на заданном интервале непрерывно
дифференцируема, то можно воспользоваться
следствием из теоремы Ролля, по которому
между парой корней всегда находится по
крайней мере одна стационарная точка.
Алгоритм решения задачи в данном случае
будет следующий: Полезным
средством для отделения корней является
также использование теоремы Штурма. Решение
третьей задачи осуществляется различными
итерационными (численными) методами:
методом дихотомии, методом простой
итерации, методом Ньютона, методом хорд
и т.д. Пример
Решим
уравнение
На
графике видно, что корень нашего уравнения
принадлежит отрезку
Напомним,
что исходное уравнение (1) в методе
простой итерации преобразуется к виду
Выполнение
расчетов по формуле (3) называется одной
итерацией. Итерации прекращаются, когда
выполняется условие
Метод
простой итерации сходится, если
выполняется условие
На
практике часто выражают
Выберем
Программно
организуем процесс итераций с заданной
точностью: >
fv:=proc(f1,x0,eps)
>
k:=0:
x:=x1+1:
while
abs(x1-x)> eps do
x1:=f1(x):
print(evalf(x1,8)):
print(abs(x1-x)):
:printf("Кол.
итер.=%d ",k):
end
:
На
19 итерации мы получили корень нашего
уравнения
Решим
наше уравнение методом
Ньютона
.
Итерации
в методе Ньютона осуществляются по
формуле: Метод
Ньютона можно рассматривать как метод
простой итерации с функцией, тогда
условие сходимости метода Ньютона
запишется в виде: В
нашем обозначении
Напомним,
что метод Ньютона сходится с квадратичной
скоростью и начальное приближение
должно быть выбрано достаточно близко
к корню.
Произведем
вычисления:
Программно
организуем процесс итераций с заданной
точностью.
На
4 итерации получим корень уравнения
методом
Ньютона с
Задание
:
Решить нелинейные уравнения с точностью
0.
деления
отрезка пополам (дихотомии) простой
итерации. Ньютона
(касательных) секущих
– хорд. Варианты
заданий рассчитываются следующим
образом: номер по списку делится на 5
( МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ Реферат
на тему: «Решение нелинейных уравнений методом
простых итераций» Выполнил:.
Бубеев Б.М. Проверил:
Ширапов Д.Ш. Введение
Нелинейные уравнения можно
разделить на 2 класса - алгебраические
и трансцендентные. Алгебраическими
уравнениями
называют
уравнения, содержащие только алгебраические
функции (целые, рациональные,
иррациональные). В частности, многочлен
является целой алгебраической функцией.
Уравнения, содержащие другие функции
(тригонометрические, показательные,
логарифмические и другие) называются
трансцендентными.
Методы решения нелинейных
уравнений делятся на две группы: точные методы
; итерационные
методы
. Точные методы
позволяют записать корни в виде некоторого
конечного соотношения (формулы). Из
школьного курса алгебры известны такие
методы для решения тригонометрических,
логарифмических, показательных, а также
простейших алгебраических уравнений. Как известно, многие уравнения
и системы уравнений не имеют аналитических
решений. В первую очередь это относится
к большинству трансцендентных уравнений.
Доказано также, что нельзя построить
формулу, по которой можно было бы решить
произвольное алгебраическое уравнение
степени выше четвертой. Кроме того, в
некоторых случаях уравнение содержит
коэффициенты, известные лишь приблизительно,
и, следовательно, сама задача о точном
определении корней уравнения теряет
смысл. Для их решения используются
итерационные методы
с
заданной степенью точности. Пусть дано уравнение Функция f
(x
)
непрерывна на отрезке [a,
b
] вместе со своими
производными 1-го и 2-го порядка. Значения
f
(x
)
на концах отрезка имеют разные знаки
(f
(a
)
f
(b
) < 0).
Первая
и вторая производные f"
(x
)
и f""
(x
)
сохраняют определенный знак на всем
отрезке. Условия 1) и 2) гарантируют, что
на интервале [a,
b
]
находится хотя бы один корень, а из 3)
следует, что f
(x
)
на данном интервале монотонна и поэтому
корень будет единственным. Решить уравнение (1) итерационным
методом
значит установить,
имеет ли оно корни, сколько корней и
найти значения корней с нужной точностью. Всякое значение
,
обращающее функцию f
(x
)
в нуль, т.е. такое, что: называется корнем
уравнения
(1)
или нулем
функции f
(x
).
Задача нахождения корня уравнения
f
(x
)
= 0 итерационным методом состоит из двух
этапов: отделение корней
- отыскание приближенного значения
корня или содержащего его отрезка; уточнение
приближенных корней
-
доведение их до заданной степени
точности. Процесс отделения корней
начинается с установления знаков функции
f
(x
)
в граничных x
=
a
и x
=
b
точках области ее
существования. Пример
1
.
Отделить корни уравнения: Следовательно, уравнение (2) имеет
три действительных корня, лежащих в
интервалах [-3, -1], и . Приближенные значения корней
(начальные приближения
)
могут быть также известны из физического
смысла задачи, из решения аналогичной
задачи при других исходных данных, или
могут быть найдены графическим способом. В инженерной практике распространен
графический способ
определения приближенных корней. Принимая во внимание, что
действительные корни уравнения (1) - это
точки пересечения графика функции f
(x
)
с осью абсцисс, достаточно построить
график функции f
(x
)
и отметить точки пересечения f
(x
)
с осью Ох,
или отметить на оси Ох
отрезки, содержащие по одному корню.
Построение графиков часто удается
сильно упростить, заменив уравнение
(1) равносильным
ему уравнением: где функции f
1 (x
)
и f
2 (x
)
- более простые, чем функция
f
(x
).
Тогда, построив графики функций у
= f
1 (x
)
и у
= f
2 (x
),
искомые корни получим как абсциссы
точек пересечения этих графиков. Рисунок 2.
Пример
2
.
Графически отделить
корни уравнения (Рисунок 2): x
lg
x =
1.
Уравнение (4) удобно переписать
в виде равенства: Отсюда ясно, что корни уравнения
(4) могут быть найдены как абсциссы точек
пересечения логарифмической кривой y
= lg x
и гиперболы
y
=
.
Построив эти кривые, приближенно найдем
единственный корень
уравнения
(4) или определим его содержащий отрезок
. Итерационный процесс состоит в
последовательном уточнении начального
приближения х
0 .
Каждый такой шаг называется итерацией
.
В результате итераций находится
последовательность приближенных
значений корня х
1 ,
х
2 ,
...,
х
n
.
Если эти значения с увеличением числа
итераций n
приближаются
к истинному значению корня, то говорят,
что итерационный процесс сходится
. Метод простой итерации
Для использования метода итерации
исходное нелинейное уравнение f
(х
)
= 0 заменяется равносильным уравнением Геометрически метод итерации
может быть пояснен следующим образом.
Построим на плоскости хОу
графики функций у = х
и у =
(х
).
Каждый действительный корень
уравнения
(8) является абсциссой точки пересечения
М
кривой
у =
(х
)
с прямой у = х
(Рисунок 6, а
).
Рисунок 6.
Отправляясь от некоторой точки
А
0
[x
0 ,
(x
0)],
строим ломаную А
0 В
1 А
1 В
2 А
2 ...
(“лестница”), звенья которой попеременно
параллельны оси Ох
и оси Оу
,
вершины А
0 , А
1 , А
2 , ...
лежат
на кривой у=
(х
),
а вершины В
1 , В
2
, В
3 ,
…,
- на прямой у = х.
Общие абсциссы точек А
1
и В
1 ,
А
2
и В
2 ,
..., очевидно, представляют собой
соответственно последовательные
приближения х
1 ,
х
2 , ...
корня
. Возможен также другой вид ломаной
А
0 В
1 А
1 В
2 А
2
...
- “спираль”
(Рисунок 6, б
).
Решение в виде “лестницы” получается,
если производная "
(х
) положительна,
а решение в виде “спирали”, если "
(х
) отрицательна. На Рисунке 6, а, б
кривая у
=
(х
) в окрестности
корня
-
пологая, то есть
<1,
и процесс итерации сходится. Однако,
если рассмотреть случай, где
>1,
то процесс итерации может быть расходящимся
(Рисунок 7). Рисунок 7.
Поэтому для практического
применения метода итерации нужно
выяснить достаточные условия сходимости
итерационного процесса. Теорема:
Пусть
функция
(х
) определена
и дифференцируема на отрезке
[a, b
], причем
все ее значения
(х
)
[a
,
b
]. Тогда, если существует правильная
дробь
q
такая, что
при a
<
x
< b,
то:
1)
процесс итерации
сходится независимо от начального
значени
я х
0
[a
,
b
]; 2) предельное значение
является
единственным корнем уравнения
х =
(х
)
на отрезке
[a, b
]. Пример
5
.
Уравнение f
(x
)
x
3
- x
-
1 = 0 имеет корень , так как f
(1)
= - 1 < 0 и f
(2) =
5 > 0. Уравнение (10) можно записать в
виде х
= х
3
- 1. (х
)
= х
3
- 1 и "
(х
) = 3х
2 ; " (х
)
3
при 1
х
2 и, следовательно, условия
сходимости процесса итерации не
выполнены. Если записать уравнение (10) в
виде то будем иметь: Отсюда
... методов
решения
нелинейных
уравнений
Существует много различных методов
решения
нелинейных
уравнений
, некоторые из них представлены ниже: 1)Метод
итераций
. При решении
нелинейного
уравнения
методом
итераций
... формулу метода
простой
итерации
xk+1=g(... Описывающая правила вычисления коней нелинейного
уравнения
методом
итераций
, а также блок-схема метода
. 2 Практическая реализация: ... вычисление корней уравнения
методом
итераций
2.4 Вычислительный эксперимент – сравнение результатов программы с решением
в... Кафедра: АСОИиУ Лабораторная Работа
На тему: НАХОЖДЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Москва, 2008 год НАХОЖДЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Постановка задачи
Пусть задана функция , непрерывная вместе со своими несколькими производными. Требуется найти все или некоторые вещественные корни уравнения Данная задача распадается на несколько подзадач. Во-первых, необходимо определить количество корней, исследовать их характер и расположение. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью e. Первая и вторая задачи решаются, как правило, аналитическими или графическими методами. В случае, когда ищутся только вещественные корни уравнения (1), полезно составить таблицу значений функции . Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Найденные приближенные значения корней можно уточнить с помощью различных итерационных методов. Рассмотрим три метода: 1) метод дихотомиии (или деление отрезка пополам); 2) метод простой итерации и 3) метод Ньютона. 2. Методы решения задачи
2.1 Метод деления отpезка пополам
Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения (1), является метод половинного деления. Пусть на отрезке задана непрерывная функция Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. Итак, алгоритм метода дихотомии: 1. Задать отрезок и погрешность e. 2. Если f(a) и f(b) имеют одинаковые знаки, выдать сообщение о невозможности отыскания корня и остановиться. Рис.1. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения вида f(х)=0. 3. В противном случае вычислить c=(a+b)/2 4. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, положить b=c, в противном случае a=c. 5. Если длина нового отрезка , то вычислить значение корня c=(a+b)/2 и остановиться, в противном случае перейти к шагу 3. Так как за N шагов длина отрезка сокращается в 2 N
раз, то заданная погрешность отыскания корня e будет достигнута за итераций. Как видно, скорость сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Если отрезок содержит больше одного корня (но нечетное число), то всегда будет найден какой-нибудь один. Замечание. Для определения интервала, в котором лежит корень, необходим дополнительный анализ функции , основанный либо на аналитических оценках, либо на использование графического способа решения. Можно также организовать перебор значений функции в различных точках, пока не встретится условие знакопеременности функции 2.2 Метод простой итерации
При использовании этого метода исходное нелинейное уравнение (1) необходимо переписать в виде Обозначим корень этого уравнения C *
. Пусть известно начальное приближение корня . Подставляя это значение в правую часть уравнения (2), получаем новое приближение и т.д. Для (n+1)- шага получим следующее приближение Таким образом, по формуле (3) получаем последовательность С 0
, С 1
,…,С n
+1
, которая стремиться к корню С *
при n®¥. Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. выполняется условие Исследуем условие и скорость сходимости числовой последовательности {C n
} при n®¥. Напомним определение скорости сходимости. Последовательность {C n
}, сходящаяся к пределу С *
, имеет скорость сходимости порядка a, если при n®¥ выполняется условие Допустим, что имеет непрерывную производную, тогда погрешность на (n+1)-м итерационном шаге e n
+1
=C n
+1
-C *
=g(C n)-g(C *) можно представить в виде ряда e n+1
» C n+1
– C *
= g¢(C *) (C n
-C *) +¼@ g¢(C *) e n
+¼ Таким образом, получаем, что при выполнении условия çg¢(C *) ç<1(6) последовательность (3) будет сходиться к корню с линейной скоростью a=1. Условие (6) является условием сходимости метода простой итерации. Очевидно, что успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция . Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения вида x =a 2
, можно положить x=g 1
(x)=a/x (7а) x=g 2
(x)=(x+a/x)/2.(7б) Нетрудно показать, что ½g 1
"
(C)½=1, ½g 2
"
(C)½<1. Таким образом, первый процесс (7а) вообще не сходится, а второй (7б) сходится при любом начальном приближении С 0
>0. Рис. 2. Графическая интерпретация метода простых итераций для решения уравнения вида x=g(х). Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) С 0
, С 1
, …, С n
= C * приведено на рисунке 2. 2.3 Метод Ньютона
В литературе этот метод часто называют методом касательных, а также методом линеаризации. Выбираем начальное приближение С 0
. Допустим, что отклонение С 0
от истинного значения корня С *
мало, тогда, разлагая f(C *) в ряд Тейлора в точке С 0
, получим f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C *
-C 0) +¼(8) Если f¢(C 0) ¹ 0 , то в (8) можно ограничится линейными по DC =C-C 0
членами. Учитывая, что f(C *)=0, из (9) можно найти следующее приближение для корня C 1
= C 0
– f (C 0) / f¢(C 0) или для (n+1)-го приближения C n+1
= C n
– f (C n) / f ¢(C n) (9) Для окончания итерационного процесса можно использовать одно из двух условий çC n
+1
– C n
ç çf(C n
+1) ç Исследование сходимости метода Ньютона проводится аналогично предыдущему случаю. Самостоятельно получить, что при выполнении условия ½f ""
(C)/2f"(C)½<1. метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости (). Рис. 3. Графическая интерпретация метода Ньютона для решения уравнения вида f(х)=0. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (9) С 0
, С 1
, …, С n
= C * приведено на рисунке 3. 1. Для заданной функции f(x) · определите число вещественных корней уравнения f(x)=0, место их расположения и приближенные значения (постройте график или распечатайте таблицу значений). · Вычислите один из найденных корней (любой) с точностью e=0,5*10 -3
. Для вычислений используйте метод деления отрезка пополам (определите число итераций), а затем этот же корень найдите с помощью метода Ньютона (также определив число итерационных шагов). Сравните полученные результаты. Варианты заданий 1. x 3
–3x 2
+6x – 5 = 0 2. x 3
+sinx –12x-1=0 3. x 3
–3x 2
–14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0 5. x 2
+4sin x –1 = 0 6. 4x –ln x = 5 7. x 6
–3x 2
+x – 1 = 0 8. x 3
– 0.1x 2
+0.3x –0.6 = 0 9. 11. 13. x 3
–4x 2
–10x –10 = 0 14. 15. 16. 19. 20. 23. 24. x 4
- 2.9x 3
+0.1x 2
+ 5.8x - 4.2=0 25. x 4
+2.83x 3
- 4.5x 2
-64x-20=0 26. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.
Постановка задачи
Пусть требуется решить систему n нелинейных уравнений: Прямых методов решения системы (1) не существует. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удаётся выразить одну неизвестную переменную через другую и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Систему уравнений (1) можно кратко записать в векторном виде: Уравнение (2) может иметь один или несколько корней в области определения D. Требуется установить существование корней уравнения и найти приближённые значения этих корней. Для нахождения корней обычно применяют итерационные методы, в которых принципиальное значение имеет выбор начального приближения. Начальное приближение иногда известно из физических соображений. В случае двух неизвестных начальное приближение можно найти графически: построить на плоскости (x 1
, x 2) кривые f 1
(x 1
, x 2)=0 и f 2
(x 1
, x 2)=0 и найти точки их пересечения. Для трех и более переменных (а также для комплексных корней) удовлетворительных способов подбора начального приближения нет. Рассмотрим два основных итерационных метода решения системы уравнений (1), (2) - метод простой итерации и метод Ньютона. 2. Методы решения системы нелинейных уравнений
2.1.Метод простой итерации
Представим систему (1) в виде или в векторной форме: Алгоритм метода простой итерации состоит в следующем. Выберем некоторое нулевое приближение Следующее приближение находим по формулам: или более подробно: Итерационный процесс (5) продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е. На практике часто вместо последнего условия используют неравенство: где - среднеквадратичная норма n-мерного вектора При использовании данного метода успех во многом определяется удачным выбором начального приближения : оно должно быть достаточно близким к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Если процесс сходится, то его скорость сходимости является линейной. 2.2. Метод Ньютона
В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. Пусть известно некоторое приближение к корню , так что Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом: Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки и ограничиваясь линейными членами по отклонению , получим: или в координатной форме: Систему (8) можно переписать в виде: Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений Значение функций F 1
, F 2
, …, F n
и их производные в (9) вычисляются при Определителем системы (9) является якобиан J: Для существования единственного решения системы уравнений (9) он должен быть отличен от нуля. Решив систему (9), например, методом Гаусса, найдём новое приближение: Проверяем условие (6). Если оно не удовлетворяется, находим и якобиан (10) с новым приближением и опять решаем (9), таким образом, находим 2-е приближение и т.д. Итерации прекращаются, как только выполнится условие (6). Используя метод Ньютона, найдите решения системы нелинейных уравнений с заданной точностью . Исследуйте сходимость итерационного процесса. Варианты заданий 1 3 5 7 9 11 13 15. 17. 19. 21. 
а значит q=1/k < 1 и процесс будет сходиться.
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ),
где m 1 и M 1 – минимальное и максимальное значения f’(x) (m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|) для хÎ, т.е. 0£ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. Тогда
.
(рис.1.2.3-8).
(1.2.3-15)
(1.2.3-16)
1.2.3-14, представлены в таблице 1.2.3-4.
Например, y=ax+b – линейное уравнение, х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 – нелинейное (в общем виде записывается как F(x)=0).
Отделение корней осуществляется различными способами: графически, при помощи различных специализированных компьютерных программ и др.Методы численного решения нелинейных уравнений
Разделим отрезок на 2 части: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Если произведение F(a)*F(x)>0, то начала отрезка a переносится в x (a=x), иначе, конец отрезка b переносится в точку x (b=x). Полученный отрезок делим опять пополам и т.д. Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.
Если F(a)xF(z)
F’’(0)=-0,4
F’’(0)=-0,4
Условие F(-1)F’’(-1)>0 выполняется, поэтому расчеты производим по формуле: 
– нелинейная непрерывная функция.
с осью абсцисс. Абсциссы
точек
пересечения графика
с осью
являются
корнями уравнения (1)
непрерывна
на отрезке
и
,
то согласно теореме Больцано – Коши,
на отрезке
существует
хотя бы один корень уравнения (1)(нечетное
количество корней).
удовлетворяет
условиям теоремы Больцано-Коши и
монотонна на этом отрезке, то на
существует
только один корень уравнения (1).Таким
образом, уравнение (1) имеет на
единственный
корень, если выполняются условия:
методом
простой
итерации
.
Зададим
.
Построим
график функции.
,
т.е.
– отрезок изоляции корня нашего
уравнения. Проверим это аналитически,
т.е. выполнение условий (2):
и итерации осуществляются по формуле:
(3)
,
где
-
абсолютная погрешность нахождения
корня, или
,
где
-относительная
погрешность.
для
.
Выбором функции
в формуле (3) для итераций можно влиять
на сходимость метода. В простейшем
случае
со знаком плюс или минус.
непосредственно из уравнения (1). Если
не выполняется условие сходимости,
преобразуют его к виду (3) и подбирают.
Представим наше уравнение в виде
(выразим
x
из уравнения). Проверим условие сходимости
метода:
для
.
Обратите внимание, что условие
сходимости выполняется не
,
поэтому мы и берем отрезок изоляции
корня
.
Попутно заметим, что при представлении
нашего уравнения в виде
,
не выполняется условие сходимости
метода:
на
отрезке
.
На графике видно, что
возрастает быстрее, чем функция
(|tg|
угла наклона касательной к
на отрезке
)
.
Организуем итерации по формуле:
c
абсолютной погрешностью
.
и условие сходимости выполняется на
отрезке
,
что видно на графике:
,
начальное приближение,
.
Организуем
итерации по формуле:
с
Мы
рассмотрели методы решения нелинейных
уравнений на примере кубических
уравнений, естественно, этими методами
решаются различные виды нелинейных
уравнений. Например, решая уравнение
,
находим корень уравнения на [-1,5;-1]:
),
целая часть соответствует номеру
уравнения, остаток – номеру метода.
.
при
1
х
2
и значит, процесс итерации для уравнения
(12) быстро сойдется. уравнений
методом
деления отрезка пополам... в памяти в форме простых
переменных. Результат этой... итерация
) типа Real; d – дискриминант типа Real; x1 –первый корень уравнения
, найденный методом
решения
квадратных уравнений
...Метод
Ньютона для решения
нелинейных
уравнений
Курсовая работа >> Информатика
Решение
нелинейных
уравнений
методом
интераций
Контрольная работа >> Информатика
то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждой итерации вдвое длины отрезка. Находим середину отрезка (см. рис. 1) 
Вычисляем значение функции и выбираем тот отрезок, на котором функция меняет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью вычисления корня e. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) приведено на рисунке 1.
(3)
(4)
10. (x -1) 3
+ 0.5e x
= 0
12. x 5
–3x 2
+ 1 = 0
(1)
. (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
, т.е.
(8)
(9)
.
(10)
.
2
4
6
8
10
12
14. 
16. 
18. 
20. 
22. 
